parte seconda
Matrice simmetrica: A=TA quando la matrice A è uguale alla sua trasposta. Deve essere: 1) quadrata; 2) aij=aji
Matrice antisimmetrica: A=-TA. Deve essr: 1) quadrata; 2) aii=0 ( con aij=-aji). Cioè gli elementi della diagonale principale devono essere nulli (aii=0).
Matrice diagonale: i suoi elementi aij sono nulli se i è diverso da j; aij è diverso da zero se i=j. Possono essere non nulli solo gli elementi della diagonale principale. Tutti gli elementi al di fuori della diagonale proncipale sono tutti nulli. Le matrice diagonale sono un sottoanello commutativo delle matrici quadrate.
Matrice quadrata triangolare superiore: aij=0 se i<j cioè gli elementi al di sotto della diagonale principale sono tutti nulli.
Matrice quadrata triangolare inferiore: aij=0 se i>j cioè sono nulli tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale.
Matrice nil-potente: esiste un intero p tale che Ap=0
Matrice involutoria: A2=I
Matrice idempotente: A2=A
Matrice inversa: A-1 tale che AxA-1=A-1xA=I per trovarla serve il teorema di Binet ed il secondo teorema di Laplace.
Non sempre una matrice è simmetrizzabile, cioè non sempre esiste una matrice A' tale che AxA'=I, in particolare, AxA'=I succede solo per matrici quadrate e quando il determinante è non nullo. Cioè non tutte le matrici sono invertibili.
Matrice singolare: il suo determinante è nullo
Matrice regolare: il suod eterminante è non nullo
Matrice conformabile: se è definito il prodotto tra matrici
Proprietà delle matrici inverse:
1) (AB)-1=B-1xA-1
2) (A-1)T=(AT)-1
3) (AB)T=BTxAT
4) A,B invertibili → AxB è invertibile
5) l'inversa A-1 è unica
6) A invertibile → A-1 è pure invertibile, (A-1)-1=A.
Matrici simili: se B=PAP-1 → B simile ad A. la similitudine tra matrici è una relazione di equivalenza che induce nell'insieme M una partizione in classi di equivalenza.
Matrici equivalenti: se esistono due matrici invertibili P e Q tali che B=PAQ → B equivalente ad A, con P e Q regolari.
Matrice inversa: si calcola così:
1) per n=2 (matrici di ordine 2) → AxA-1=A-1xA=I
2) per n>>>2 : a) scrivo la TA e poi calcolo il complemento algebrico degli elementi della trasposta e ne creo la B=A-1; b) oppure altro metodo: scrivo i complementi algebrici, poi faccio la trasposta (ogni elemento è sostituito dal suo complemento algebrico), poi faccio C=TA/|A| con C=A-1.
La matrice formata dai complementi algebrici si dice matrice aggiunta Aa.
Gruppo lineare GL: sottoinsieme delle matrici invertibili appartenente a Mn. Teorema: Mn è invertibile <=> i suoi vettori colonna sono linearmente indipendenti. GL rispetto all'operazione prodotto è un gruppo e vi appartengono tutte le matrici regolari.
(GL(n), x) è un gruppo moltiplicativo.
Matrice ortogonale: AxTA=I e TAxA=I → TA=A-1 cioè la trasposta è uguale all'inversa. Una matrice è ortogonale <=> matrice regolare <=> determinante non nullo
proposizione: il prodotto fi due matrici ortogonale è una matrice ortogonale
prorpietà: I-1=TI l'inversa della I è la sua trasposta
Gruppo ortogonale O(n)= insieme delle matrici ortogonali
GO(n) è un sottogruppo del GL
1) se A,B appartengono ad O(n) → AxB appartiene ad O(n)
2) determinante delle matrici ortogonali è uguale +1 oppure -1.
3) esistono due GO di cui uno positivo ed uno negativo: O+(n) sono un gruppo; O-(n) non sono un gruppo ma un insieme delle matrici ortogonali negative perchè manca I e perchè se ho due matrici ortogonali negative il loro prodotto è positivo.
