matrici e deteminante parte prima

Matrici e determinanti (parte prima)

Generalità e nozioni:

Una matrice è una tabella di elementi disposti in righe e colonne. Ogni elemento ha due pedici di posizione indicati con i= numero di riga e j= numero di colonna. La matrice si indica con la lettera maiuscola e gli elementi in minuscolo. La amtrice è scritta con glie elementi tra due sbarrette verticali per lato oppure tra parentesi tonde. La matrice A appartiene all'insieme delle matrici di ordine mxn (si legge m per n). A_ij appartiene a M_mxn. Elemento a_ij. Matrice A=(a_ij)=[a_ij]=||a_ij||.

Diagonale principale: è formata dagli elementi a_ij tali che i=j, cioè gli elementi della diagonale principale hano numero di riga uguale al numero di colonna.

Diagonale secondaria: è formata dagli elementi a_ij tali che i+j=n+i, con n= ordine della matrice.

Le diagonale sono n-ple (leggo ennuple) di elementi (che possono essere numeri).

Uguaglianza di matrici: due matrici sono uguali se hanno tutti gli elementi uguali,cioè A=B se e solo se a_ij=b_ij. Gode delle proprietà di riflessiva, simmetrica e transitiva.

Operazioni tra matrici:

1. somma: si sommano matrici dello stesso ordine, per esempio A_3,2 + B_3,2 = C_3,2 in cui a_ij+b_ij=c_ij.

2. Prodotto riga per colonna: A_m,n x B_n,q = C_m,q in cui il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice

3. prodotto per uno scalare: h x A = h[a_ij]= [ha_ij], con h scalare (numero)

il prodotto può essere anche righe x righe (in cui le due matrici hanno lo stesso numero di colonne);

colonne x colonne (in cui le due matrici hanno lo stesso numero di righe); colonne x righe (in cui il numero di righe della prima matrice è uguale al numero di colonne della seconda).

Matrice nulla: ha tutti gli elementi nulli

Matrice opposta: ha tutti gli elementi cambiati di segno, cioè -A= -a_ij.

Gruppo delle matrici: (M_m,n,+) è un gruppo abeliano; rispetto al prodotto: questa è una relazione e non una operazione, è un'operazione se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda. Non vale la proprietà commutativa, che vale solo per le matrici quadrate.

Spazio vettoriale delle matrici: (M_m,n, +, x), ha dimensione mxn. Se ho uno spazio vettoriale di dimensione n e fisso una base di vn vettori, rispetto alla quale il vettore v generico ha delle componenti. L'n-pla che identifica il vettore v è come una matrice di (1xn) con una riga ed una colonna. La matrice è formata da m vettori in uno spazio vettoriale di dimensione n. Ogni riga ed ogni colonna rappresentano un vettore dato dal prodotto dello scalare per una base già fissata.

Matrici quadrate: sono matrici in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne, cioè m=n. Esse appartengono all'insieme delle matrici M_n ( di ordine n), che è un anello con identità non commutativo, cioè (M_n,+,x) è un gruppo abeliano rispetto alla somma, vale la proprietà associativa rispetto al prodotto, vale la proprietà distributiva rispetto ad entrambe le operazioni.

Matrice identità detta matrice unità di ordine n: è una matrice quadrata I_n con gli elementi della diagonale principale uguali ad 1 se i=j ed uguali a zero se i è diverso da j. E' una matrice diagonale.

Matrice trasposta: i suoi elementi hanno il numero di righe invertito col numero di colonne cioè

^TA= a_ji. La matrice traspsota TA appartiene alle Mn,m. Le sue proprietà sono:

1. ^T(^TA)=A

2. ^T(AB)=^TBx^TA

3. ^T(A+B)=^TA+^TB

4. h(^TA)=h^TA

5. ^T(A^-1)=(^TA)^-1