insiemi

Insiemi:

 

L'insieme rappresenta un raggruppamento ben definito di enti, ciascuno dei quali è un elemento dell'insieme stesso. Ben definiti vuol dire che si può parlare di <<insieme dei fiumi d'Italia lunghi più di 200 km>> perchè per ogni fiume è possibile stabilire la lunghezza del suo corso; invece, <<i grandi fiumi d'Italia>> non formano un insieme perchè non si conosce il criterio in base al quale un fiume è giudicato grande.

I concetti primitivi della teoris sono: punto, retta e non si definiscono, ma si accettano così come sono. Anche l'insieme e i suoi elementi sono concetti primitivi.

Secondo Cantor = l'isieme è una collezione di oggetti di natura qualsiasi che devono essere ben definiti e distinguibili l'uno ndall'altro che fanno parte della nostra intuizione e del nostro pensiero. Distinguibili significa che non ha senso prendere più volte lo stesso eleemnto.

L'insieme è indicato con la lettera maiuscola, i suoi elementi con la lettera minuscola. Se gli elementi sono pure delgi insiemi allora si usa la lettera maiuscola.

 

Rappresentazione degli insiemi:

  1. per elencazione (estensiva o tabulare)

  2. per caratteristica o per proprietà

  3. grafica o di Eulero-Venn

 

  1. gli elementi dell'insieme sono elencati tra parentesi graffe

  2. si descrivno le caratteristiche degli elementi di un insieme mediante le loro proprietà

  3. sii usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell'insieme

 

  1. A = f 1,2,3,4g

  2. A = f x/x 2 N, 16x64 g

operazioni tra insiemi:

 

Unione: tra due o più insiemi è l'insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta.

 

Intersezione: tra due o più insiemi è l'insieme formato dalgi elementi che appartengono al primo o al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se gli insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti.

 

Differenza: tra due insiemi è l'insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme.

Insieme complementare: di un isieme rispetto ad un altro che lo contiene, è l'insieme differenza dei due.

 

Prodotto cartesiano: tra due insiemi AxB è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme ed il secondo elemento al secondo insieme. Il prodotto cartesiano non è commutativo.

 

Insieme delle parti di un insieme: è l'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell'insieme dato. Se l'insieme A è formato da n elementi, l'insieme delle parti P(A) ha 2n elementi.

 

Partizione di un insieme: è l'insieme formato dai suoi sottoinsiemi (o parti) che verificano le seguenti proprietà: 1)nessuna delle parti è vuota; le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in omune; 3) l'unione delle parti è uguale all'insieme iniziale.

 

Relazioni tra insiemi:

 

definire una relazione tra sue insiemi quivale ad assegnare una legge che associ, cioè che metta in relazione, tra di loro gli elementi dei due insiemi. Ad un elemento qualsiasi di A può essere associato uno o più elementi di B secondo una data legge.

Si scrive aRb e si legge l'elemento a è in relaizone con l'elemento b, con a appartenente ad A e b appartenente a B. A e B insiemi.

 

Relazione di equivalenza:

 

tra coppie ordinate di elementi di un insieme U gode delle seguenti proprietà:

riflessiva

simmetrica

transitiva

 

l'elemento a appartiene ad U:

propr. Riflessiva = aRa per ogni a 2 U

propr. Simmetrica = aRb implica che bRa

prop. Transitiva = aRb e bRc implica che aRc

 

Il sottoinsieme di U costituito da quegli elementi che sono equivalenti ad un elemento a si dice classe di equivalenza rispetto a R dell'elemento a, e si indica con il simbolo a minuscolo tra parentesi quadre. Le classi di equivalenza godono delle seguenti proprietà:

ogni classe è non vuota

se due classi sono diverse, la loro intersezione è vuota

ogni elemento a di U appartiene ad una sola classe di equivalenza.

 

Relazione d'ordine: tra coppie ordinate di elementi di un insieme U gode delle seguenti proprietà:

riflessiva, simmetrica e transitiva. L'insieme U si dice ordinato per mezzo di R. l'ordinamento si dice: totale se ogni elemento a è confrontabile con ogni elemento b; parziale se non è possibile confrontare gli elementi fra loro.